Упр.160 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Концы отрезка AB лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, причем d < AB. Докажите, что проекции отрезка AB на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если AB = 13 см, d = 5 см.

Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ проекции точек $$A$$ и $$B$$ на плоскости $$\beta$$ и $$\alpha$$ соответственно. Тогда $$AA_1 \perp \beta$$, $$BB_1 \perp \alpha$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то перпендикуляры к ним параллельны, значит $$AA_1 \parallel BB_1$$. Кроме того, отрезок $$AB_1$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а отрезок $$A_1B$$ — в плоскости $$\beta$$, поэтому $$AB_1 \parallel A_1B$$.

Следовательно, четырёхугольник $$AA_1BB_1$$ — параллелограмм. Так как $$AA_1 \perp \alpha$$ и $$AB_1 \subset \alpha$$, то $$AA_1 \perp AB_1$$. Значит, параллелограмм $$AA_1BB_1$$ является прямоугольником, откуда

$$AB_1 = A_1B.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle AA_1B$$. В нём

$$AA_1 = d = 5\text{ см}, \qquad AB = 13\text{ см}.$$

По теореме Пифагора:

$$ A_1B=\sqrt{AB^2-AA_1^2} =\sqrt{13^2-5^2} =\sqrt{169-25} =\sqrt{144}=12\text{ см}. $$

Так как $$AB_1 = A_1B$$, получаем

$$AB_1 = A_1B = 12\text{ см}.$$

Ответ

Проекции отрезка $$AB$$ на плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ равны и каждая из них равна $$12\text{ см}$$.