Упр.160 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Концы отрезка $$AB$$ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно $$d$$, причем $$d < AB$$. Докажите, что проекции отрезка $$AB$$ на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если $$AB = 13\ \text{см}$$, $$d = 5\ \text{см}$$.
Пусть $$A_1$$ и $$B_1$$ — проекции точек $$A$$ и $$B$$ на плоскости $$\beta$$ и $$\alpha$$ соответственно. Тогда $$AA_1 \perp \beta$$, $$BB_1 \perp \alpha$$, а так как $$\alpha \parallel \beta$$, то $$AA_1 \parallel BB_1$$.
Отрезок $$A_1B_1$$ — проекция отрезка $$AB$$ на плоскость $$\alpha$$, а отрезок $$B_1A_1$$ — проекция отрезка $$AB$$ на плоскость $$\beta$$. Докажем, что эти проекции равны.
Так как $$A \in \alpha$$ и $$B_1 \in \alpha$$, то $$AB_1 \subset \alpha$$. Аналогично, $$A_1B \subset \beta$$. Поскольку $$\alpha \parallel \beta$$, имеем $$AB_1 \parallel A_1B$$.
Кроме того, $$AA_1 \parallel BB_1$$. Следовательно, четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны:
$$A_1B_1 = AB_1.$$
Аналогично получаем $$A_1B = A_1B_1$$, поэтому проекции отрезка $$AB$$ на обе плоскости равны.
Теперь найдём их длину. В прямоугольном треугольнике $$AA_1B$$ катет $$AA_1$$ равен расстоянию между параллельными плоскостями, то есть $$d=5$$ см. Тогда по теореме Пифагора:
$$A_1B=\sqrt{AB^2-AA_1^2} =\sqrt{13^2-5^2} =\sqrt{169-25} =\sqrt{144}=12.$$
Следовательно,
$$A_1B_1=A_1B=12\text{ см}.$$
Ответ: $$12$$ см.
