Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 20°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника $$\triangle ABC$$ так, что $$\angle C=90^\circ$$, а $$CH$$ — высота, $$CD$$ — медиана, проведённые из вершины $$C$$.

Так как $$D$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то в прямоугольном треугольнике $$\triangle ABC$$ точка $$D$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Значит,

$$BD=CD.$$

Следовательно, треугольник $$\triangle BCD$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle DBC=\angle BCD.$$

Поскольку $$CH \perp AB$$, а точки $$D$$ и $$B$$ лежат на прямой $$AB$$, угол между прямой $$CD$$ и основанием $$AB$$ равен $$20^\circ$$, то есть

$$\angle HCD=20^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle ACH$$ имеем

$$\angle HCA=90^\circ-\angle HAC.$$

Но $$\angle HAC=\angle A$$, значит

$$\angle HCA=90^\circ-\angle A=\angle B.$$

Теперь рассмотрим угол $$\angle BCD$$ в равнобедренном треугольнике $$BCD$$:

$$\angle BCD=\angle BCH+\angle HCD.$$

Так как $$\angle BCH=\angle B$$ и $$\angle HCD=20^\circ$$, получаем

$$\angle BCD=\angle B+20^\circ.$$

С другой стороны, в треугольнике $$BCD$$

$$\angle BCD=180^\circ-2\angle B.$$

Приравниваем:

$$180^\circ-2\angle B=\angle B+20^\circ,$$
$$3\angle B=160^\circ,$$
$$\angle B=35^\circ.$$

Тогда второй острый угол равен

$$\angle A=90^\circ-\angle B=90^\circ-35^\circ=55^\circ.$$

Больший из острых углов равен $$55^\circ$$.

Ответ

55