Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку $$M$$, лежащую вне окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$, проведены касательные $$MA$$ и $$MB$$ к этой окружности ($$A$$ и $$B$$ — точки касания). Прямые $$OA$$ и $$MB$$ пересекаются в точке $$C$$. Найдите $$OC$$, если известно, что отрезок $$OM$$ делится окружностью пополам.

Так как отрезок $$OM$$ делится окружностью пополам, то точка пересечения окружности с отрезком $$OM$$ является его серединой. Обозначим эту точку через $$E$$. Тогда

$$OE=ME=R,$$

а значит,

$$OM=OE+ME=2R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOM$$: радиус $$OA$$ перпендикулярен касательной $$MA$$, поэтому $$\angle OAM=90^\circ$$.

Тогда

$$\sin \angle OMA=\frac{OA}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac12,$$

откуда

$$\angle OMA=30^\circ.$$

Поскольку касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то $$MA=MB$$, а треугольник $$MAB$$ равнобедренный. Следовательно, прямая $$MO$$ является биссектрисой угла между касательными, и

$$\angle CMA=2\angle OMA=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$CMA$$ имеем

$$\tan \angle CMA=\frac{CA}{MA}.$$

Сначала найдём $$MA$$:

$$MA=\frac{OA}{\tan \angle OMA}=\frac{R}{\tan 30^\circ}=R\sqrt{3}.$$

Тогда

$$CA=MA\cdot \tan 60^\circ=R\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3R.$$

Так как точки $$C, O, A$$ лежат на одной прямой и $$O$$ находится между $$C$$ и $$A$$, то

$$CO=CA-OA=3R-R=2R.$$

Ответ: $$2R$$.