Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основание пирамиды $$DABC$$ — равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AB=BC=13$$, $$AC=24$$. Ребро $$DB$$ перпендикулярно к плоскости основания и равно $$20$$. Найдите тангенс двугранного угла $$DACB$$.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AB=BC$$, значит точка $$B$$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $$AC$$. Пусть $$E$$ — середина $$AC$$. Тогда

$$AE=CE,\qquad BE\perp AC.$$

Найдём $$BE$$ из прямоугольного треугольника $$ABE$$:

$$BE=\sqrt{AB^2-AE^2} =\sqrt{13^2-12^2} =\sqrt{169-144} =\sqrt{25}=5.$$

Так как $$BD\perp (ABC)$$, то $$BD\perp BE$$. Следовательно, треугольник $$BDE$$ прямоугольный, и тангенс угла между прямой $$DE$$ и плоскостью основания равен

$$\tan \angle DEB=\frac{BD}{BE}=\frac{20}{5}=4.$$

Искомый двугранный угол $$DACB$$ равен углу между прямыми $$DE$$ и $$BE$$, поэтому

$$\tan \varphi=4$$