Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$20^\circ$$. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть в прямоугольном треугольнике $$\triangle ABC$$ угол $$C=90^\circ$$, $$CH$$ — высота, а $$CD$$ — медиана.

Так как $$CD$$ — медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника, то $$D$$ — середина $$AB$$ и $$CD=AD=BD$$. Значит, $$\triangle BCD$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle BCD=\angle CBD.$$

По условию угол между высотой и медианой равен $$20^\circ$$, то есть

$$\angle HCD=20^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ACH$$ имеем

$$\angle HCA=90^\circ-\angle HAC.$$

Но $$\angle HAC=\angle A$$, а значит

$$\angle HCA=90^\circ-\angle A=\angle B,$$

так как в прямоугольном треугольнике $$\angle A+\angle B=90^\circ$$.

Тогда в точке $$C$$ угол $$\angle BCD$$ состоит из углов $$\angle BCA$$ и $$\angle ACD$$, поэтому

$$\angle BCD=\angle HCA+\angle HCD=\angle B+20^\circ.$$

С другой стороны, в равнобедренном треугольнике $$\triangle BCD$$

$$\angle BCD=180^\circ-2\angle B.$$

Получаем уравнение:

$$180^\circ-2\angle B=\angle B+20^\circ,$$

$$3\angle B=160^\circ,$$

$$\angle B=35^\circ.$$

Тогда больший острый угол треугольника равен

$$\angle A=90^\circ-\angle B=90^\circ-35^\circ=55^\circ.$$

Ответ: $$55^\circ$$.