Упр.159 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая $$BM$$ перпендикулярна к плоскости прямоугольника $$ABCD$$. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости $$ADM$$ и $$BCM$$, перпендикулярна к плоскости $$ABM$$.
Обозначим через $$a$$ прямую пересечения плоскостей $$ADM$$ и $$BCM$$.
Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AD \parallel BC$$ и $$AB \perp BC$$. Кроме того, $$BM \perp (ABCD)$$, значит $$BM \perp AB$$ и $$BM \perp BC$$.
Поскольку прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$BCM$$, а прямая $$a$$ — это линия пересечения плоскостей $$ADM$$ и $$BCM$$, то в плоскости $$BCM$$ прямая $$a$$ параллельна прямой $$BC$$. Следовательно,
$$a \parallel BC \parallel AD.$$
Теперь рассмотрим плоскость $$ABM$$. В ней пересекаются прямые $$AB$$ и $$BM$$. Так как $$AD \perp AB$$ и $$AD \perp BM$$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:
$$AD \perp (ABM).$$
Но $$a \parallel AD$$, значит прямая $$a$$ тоже перпендикулярна плоскости $$ABM$$.
Следовательно, прямая пересечения плоскостей $$ADM$$ и $$BCM$$ перпендикулярна плоскости $$ABM$$, что и требовалось доказать.
