Упр.159 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая BM перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADM и BCM, перпендикулярна к плоскости ABM.

Обозначим через $$a$$ прямую пересечения плоскостей $$ADM$$ и $$BCM$$.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$BC \parallel AD$$ и $$AB \perp BC$$. Кроме того, по условию $$BM \perp (ABCD)$$, значит $$BM \perp BC$$ и $$BM \perp AB$$.

Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$BM$$, лежащим в плоскости $$ABM$$. Поэтому

$$BC \perp (ABM).$$

Поскольку $$a$$ лежит в плоскости $$BCM$$ и в плоскости $$ADM$$, а $$BC \subset (BCM)$$ и $$BC \parallel AD \subset (ADM)$$, то прямая $$a$$ параллельна $$BC$$. Значит,

$$a \parallel BC.$$

Из $$BC \perp (ABM)$$ и $$a \parallel BC$$ получаем, что

$$a \perp (ABM).$$

Что и требовалось доказать.