Упр.158 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через вершину B ромба ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки M до прямых, содержащих стороны ромба, если AB = 25 см, Z BAD = 60°, BM = 12,5 см.

Подробный ответ

Так как $$BM \perp (ABCD),$$ то прямая $$BM$$ перпендикулярна любой прямой плоскости ромба, проходящей через точку $$B$$. Поэтому

$$p(M,AB)=p(M,BC)=BM=12{,}5\text{ см}.$$

Найдём расстояние от точки $$M$$ до прямых $$AD$$ и $$CD$$.

Проведём в плоскости ромба высоту $$BH \perp AD.$$ Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$MH \perp AD,$$ значит, $$MH$$ — искомое расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AD$$.

В треугольнике $$ABH$$ угол $$\angle BAH=\angle BAD=60^\circ,$$ поэтому

$$BH=AB\cdot \sin 60^\circ=25\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12{,}5\sqrt{3}\text{ см}.$$

Треугольник $$MBH$$ прямоугольный, так как $$BM \perp (ABCD)$$ и, следовательно, $$BM \perp BH.$$ Тогда по теореме Пифагора

$$ MH=\sqrt{BM^2+BH^2} =\sqrt{12{,}5^2+\left(12{,}5\sqrt{3}\right)^2} =\sqrt{156{,}25+468{,}75} =\sqrt{625}=25\text{ см}. $$

В ромбе противоположные углы равны, значит $$\angle BCD=\angle BAD=60^\circ.$$ Аналогично получаем, что расстояние от точки $$M$$ до прямой $$CD$$ также равно $$25$$ см.

Итак,

$$p(M,AB)=p(M,BC)=12{,}5\text{ см},\qquad p(M,AD)=p(M,CD)=25\text{ см}.$$