Упр.158 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину $$B$$ ромба $$ABCD$$ проведена прямая $$BM$$, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямых, содержащих стороны ромба, если $$AB=25\ \text{см}$$, $$\angle BAD=60^\circ$$, $$BM=12{,}5\ \text{см}$$.

Так как $$BM \perp (ABCD),$$ то прямая $$BM$$ перпендикулярна любой прямой плоскости ромба, проходящей через точку $$B$$. Поэтому

$$p(M,AB)=p(M,BC)=BM=12{,}5\text{ см}.$$

Найдём расстояние от точки $$M$$ до прямых $$AD$$ и $$CD$$.

Проведём в ромбе высоту $$BH$$ к стороне $$AD$$. Тогда $$BH \perp AD$$. По теореме о трёх перпендикулярах из того, что проекция наклонной $$MH$$ на плоскость ромба — это отрезок $$BH$$, следует, что $$MH \perp AD$$. Значит, $$MH$$ — искомое расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AD$$.

В треугольнике $$ABD$$ имеем $$AB=AD$$, а $$\angle BAD=60^\circ$$, значит, треугольник $$ABD$$ равносторонний. Тогда

$$BH=AB\sin 60^\circ=25\cdot \frac{\sqrt3}{2}=12{,}5\sqrt3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$MBH$$:

$$MH=\sqrt{BM^2+BH^2}=\sqrt{12{,}5^2+\left(12{,}5\sqrt3\right)^2}=\sqrt{156{,}25+468{,}75}=25\text{ см}.$$

Так как в ромбе противоположные стороны параллельны, то $$AD \parallel BC$$ и $$CD \parallel AB$$. Следовательно,

$$p(M,CD)=p(M,AB)=12{,}5\text{ см},$$

а также

$$p(M,AD)=p(M,CD)=25\text{ см}.$$

Ответ: $$p(M,AB)=p(M,BC)=12{,}5\text{ см},\quad p(M,AD)=p(M,CD)=25\text{ см}.$$