Упр.157 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$OK$$ перпендикулярна к плоскости ромба $$ABCD$$, диагонали которого пересекаются в точке $$O$$. а) Докажите, что расстояния от точки $$K$$ до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если $$OK=4{,}5\ \text{дм}$$, $$AC=6\ \text{дм}$$, $$BD=8\ \text{дм}$$.

Подробный ответ

Так как $$OK \perp (ABCD)$$, то точка $$K$$ равноудалена от всех прямых, лежащих в плоскости ромба и симметричных относительно его центра $$O$$. Докажем это для сторон $$AB$$ и $$BC$$; для остальных сторон рассуждение аналогично.

Пусть $$KM \perp AB$$ и $$KN \perp BC$$. Тогда $$KM$$ и $$KN$$ — расстояния от точки $$K$$ до прямых $$AB$$ и $$BC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$KOM$$ и $$KON$$. Имеем $$OM \perp AB$$ и $$ON \perp BC$$, а также $$OM$$ и $$ON$$ — проекции наклонных $$KM$$ и $$KN$$ на плоскость ромба. По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $$OM \perp AB$$, $$ON \perp BC$$.

В ромбе диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$. Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равны по трём сторонам, откуда их высоты, проведённые из вершины $$O$$ к соответствующим сторонам, равны. Значит, $$OM=ON$$. Тогда из прямоугольных треугольников $$KOM$$ и $$KON$$ получаем

$$KM=\sqrt{KO^2+OM^2}, \qquad KN=\sqrt{KO^2+ON^2},$$

а так как $$OM=ON$$, то $$KM=KN$$. Аналогично доказывается, что расстояния от точки $$K$$ до прямых, содержащих все стороны ромба, равны.

Найдём это расстояние. Обозначим его через $$d$$. Тогда $$d=KM$$.

Пусть $$AB=a$$. Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, то

$$AO=\frac{AC}{2}=3,\qquad BO=\frac{BD}{2}=4.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Площадь треугольника $$AOB$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{AOB}=\frac12 AB\cdot OM=\frac12 AO\cdot BO.$$

Отсюда

$$OM=\frac{AO\cdot BO}{AB}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4\text{ дм}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$KOM$$: