Упр.156 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Один из катетов прямоугольного треугольника $$ABC$$ равен $$m$$, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен $$\varphi$$. Через вершину прямого угла $$C$$ проведена прямая $$CD$$, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, $$CD=n$$. Найдите расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AB$$.

Проведём из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ к прямой $$AB$$. Тогда $$CH \perp AB$$ и, так как $$CD \perp (ABC)$$, имеем $$CD \perp AB$$. Следовательно, прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$DCH$$, а значит, $$DH \perp AB.$$

Итак, расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AB$$ равно отрезку $$DH$$.

Найдём $$CH$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол при катете, равном $$m$$, равен $$\varphi$$, поэтому

$$CH=BC\cdot \sin\varphi=m\sin\varphi.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCH$$:

$$DH^2=CD^2+CH^2=n^2+m^2\sin^2\varphi.$$

Значит,

$$DH=\sqrt{n^2+m^2\sin^2\varphi}.$$

Ответ: $$\sqrt{n^2+m^2\sin^2\varphi}.$$