Упр.155 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через вершину прямого угла C равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CM, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AC = 4 см, а CM = 2\ < г7 см.

Подробный ответ

Обозначим через $$K$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$M$$ на прямую $$AB$$. Тогда $$MK=p(M,AB)$$.

Так как $$CM \perp (ABC)$$, то проекция наклонной $$MK$$ на плоскость $$ABC$$ — это отрезок $$CK$$. Поскольку $$MK \perp AB$$, по теореме о трёх перпендикулярах получаем $$CK \perp AB$$.

В треугольнике $$ABC$$ имеем $$AC=BC$$ и $$\angle C=90^\circ$$, значит это равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда $$\angle A=\angle B=45^\circ$$, а прямая $$CK$$, перпендикулярная $$AB$$, является высотой и медианой, поэтому $$AK=KB$$.

Найдём $$AK$$. В прямоугольном треугольнике $$AKC$$ угол $$\angle A=45^\circ$$, значит треугольник $$AKC$$ равнобедренный, и

$$ AK=KC=AC\cos 45^\circ=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\text{ см}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MKC$$:

$$ MK=\sqrt{MC^2+KC^2} =\sqrt{(2\sqrt7)^2+(2\sqrt2)^2} =\sqrt{28+8} =\sqrt{36}=6\text{ см}. $$

Следовательно, расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AB$$ равно $$6$$ см.