Упр.155 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через вершину прямого угла C равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CM, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если $$AC=4\ \text{см}$$, а $$CM=2\sqrt{7}\ \text{см}$$.

Пусть $$K$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$M$$ на прямую $$AB$$. Тогда $$MK=p(M,AB)$$.

Так как $$CM \perp (ABC)$$, а прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$ABC$$, то $$CM \perp AB$$. Кроме того, в равнобедренном прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AC=BC=4$$ и $$\angle C=90^\circ$$.

Найдём гипотенузу $$AB$$:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то высота из вершины $$C$$ к основанию $$AB$$ является также медианой. Значит, если $$K$$ — основание перпендикуляра из $$M$$ на $$AB$$, то в плоскости можно рассмотреть прямоугольный треугольник $$ACK$$, где

$$AK=\frac{AB}{2}=2\sqrt{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACK$$:

$$CK=\sqrt{AC^2-AK^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16-8}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MCK$$. Так как $$CM \perp (ABC)$$, то $$CM \perp CK$$, следовательно,

$$MK=\sqrt{CM^2+CK^2}=\sqrt{(2\sqrt{7})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{28+8}=\sqrt{36}=6.$$

Ответ: $$6$$ см.