Упр.154 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$BD$$ перпендикулярна к плоскости треугольника $$ABC$$. Известно, что $$BD=9\text{ см}$$, $$AC=10\text{ см}$$, $$BC=BA=13\text{ см}$$. Найдите: а) расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$; б) площадь треугольника $$ACD$$.

Так как $$BD \perp (ABC),$$ то прямая $$BD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ в частности $$BD \perp AC.$$

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB=BC=13$$ и $$AC=10.$$ Проведём высоту $$BH$$ к основанию $$AC.$$ В равнобедренном треугольнике эта высота является и медианой, значит

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=5.$$

В прямоугольном треугольнике $$BHC$$ по теореме Пифагора находим:

$$BH=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DBH.$$ Он прямоугольный, так как $$BD \perp (ABC)$$ и, следовательно, $$BD \perp BH.$$ Тогда

$$DH=\sqrt{BD^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15.$$

Поскольку $$DH \perp AC,$$ расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ равно $$DH$$:

$$p(D,AC)=15\text{ см}.$$

Найдём площадь треугольника $$ACD.$$ За основание возьмём $$AC,$$ а высотой будет $$DH$$:

$$S_{ACD}=\frac12 \cdot AC \cdot DH=\frac12 \cdot 10 \cdot 15=75.$$

Ответ: а) $$15\text{ см}$$; б) $$75\text{ см}^2$$.