Упр.152 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если $$BF=8\text{ дм}$$, $$AB=4\text{ дм}$$.

Так как $$BF \perp (ABCD),$$ то прямая $$BF$$ перпендикулярна любой прямой плоскости квадрата, проходящей через точку $$B$$. Поэтому

$$p(F,AB)=p(F,BC)=p(F,BD)=BF=8\text{ дм}.$$

Найдём расстояние от точки $$F$$ до прямой $$AD$$. Так как $$AB \perp AD,$$ а $$BF \perp (ABCD),$$ то $$BF \perp AD.$$ Следовательно, прямая $$AF$$ перпендикулярна $$AD,$$ и искомое расстояние равно $$AF$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABF$$:

$$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ дм}.$$

Теперь найдём расстояние от $$F$$ до диагонали $$AC$$. Диагонали квадрата пересекаются в точке $$O$$ и делятся пополам. Так как $$BF \perp (ABCD),$$ то $$BF \perp AC,$$ а значит, в плоскости $$FBC$$ перпендикуляр из точки $$F$$ к прямой $$AC$$ проходит через точку $$O$$. Следовательно, $$FO$$ — искомое расстояние.

Диагональ квадрата:

$$BD=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ дм},$$

поэтому

$$BO=\frac{BD}{2}=2\sqrt{2}\text{ дм}.$$

В прямоугольном треугольнике $$FBO$$:

$$FO=\sqrt{BF^2+BO^2}=\sqrt{8^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{64+8}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ дм}.$$

Итак,

$$p(F,AD)=4\sqrt{5}\text{ дм},\quad p(F,AB)=p(F,BC)=p(F,BD)=8\text{ дм},\quad p(F,AC)=6\sqrt{2}\text{ дм}.$$