Упр.151 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$CD$$ перпендикулярна к плоскости треугольника $$ABC$$. Докажите, что:
а) треугольник $$ABC$$ является проекцией треугольника $$ABD$$ на плоскость $$ABC$$;
б) если $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, то $$DH$$ — высота треугольника $$ABD$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим любую точку $$M$$ треугольника $$ABD$$ и её проекцию $$M_1$$ на плоскость $$ABC$$. Так как $$CD \perp (ABC)$$, то прямая, проходящая через $$D$$ и точку $$M$$, проектируется на плоскость $$ABC$$ в отрезок, соединяющий проекции её концов. Следовательно, проекцией точки $$M$$ на плоскость $$ABC$$ является точка $$M_1$$, лежащая в плоскости $$ABC$$.

Значит, проекцией всего треугольника $$ABD$$ на плоскость $$ABC$$ является треугольник $$ABC$$: вершина $$D$$ проектируется в точку $$C$$, а точки $$A$$ и $$B$$ уже лежат в плоскости $$ABC$$. Поэтому $$\triangle ABC$$ — проекция $$\triangle ABD$$ на плоскость $$ABC$$.

б) Пусть $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$. Тогда $$CH \perp AB$$. Так как $$CD \perp (ABC)$$, то $$CD \perp AB$$. Прямая $$AB$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$CH$$ и $$CD$$, лежащим в плоскости $$DCH$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем $$DH \perp AB$$.

Но $$H \in AB$$, значит, $$DH$$ — высота треугольника $$ABD$$.