Упр.150 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через вершину $$A$$ прямоугольника $$ABCD$$ проведена прямая $$AK$$, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что $$KD=6\text{ см}$$, $$KB=7\text{ см}$$, $$KC=9\text{ см}$$. Найдите: а) расстояние от точки $$K$$ до плоскости прямоугольника $$ABCD$$; б) расстояние между прямыми $$AK$$ и $$CD$$.

Подробный ответ

Так как $$AK \perp (ABCD),$$ то расстояние от точки $$K$$ до плоскости прямоугольника равно $$KA$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KAB$$. В прямоугольнике $$ABCD$$ имеем $$AB \perp AD$$ и $$AB \parallel CD,$$ значит $$AB \perp AK$$. Тогда

$$KA=\sqrt{KB^2-AB^2}.$$

Найдём $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$KAC$$:

$$AC^2=KC^2-KA^2.$$

Но в прямоугольнике $$ABCD$$ диагональ $$AC$$ удовлетворяет равенству

$$AC^2=AB^2+AD^2.$$

Удобнее сразу воспользоваться прямоугольными треугольниками $$KAB$$, $$KAD$$ и $$KAC$$. Обозначим $$KA=x,$$ $$AB=y,$$ $$AD=z.$$ Тогда

$$\begin{cases} x^2+y^2=49,\\ x^2+z^2=36,\\ x^2+y^2+z^2=81. \end{cases}$$

Вычтем из третьего уравнения первое и второе:

$$z^2=81-49=32,\qquad y^2=81-36=45.$$

Тогда

$$x^2=49-45=4,\qquad x=2.$$

Следовательно,

а) $$p(K,ABCD)=KA=2\text{ см}.$$

Для пункта б) так как $$CD \parallel AB,$$ а прямая $$AK \perp (ABCD),$$ то $$AK \perp CD.$$ Расстояние между прямыми $$AK$$ и $$CD$$ равно расстоянию от точки $$A$$ до прямой $$CD$$, то есть $$AD$$.

Из найденного выше:

$$AD=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ см}.$$

б) $$p(AK,CD)=4\sqrt{2}\text{ см}.$$

Ответ: а) $$2\text{ см}$$; б) $$4\sqrt{2}\text{ см}$$.