Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружность с центром $$O$$ касается двух параллельных прямых. Касательная к окружности пересекает эти прямые в точках $$A$$ и $$B$$. Найдите угол $$AOB$$.

Обозначим точки касания окружности с прямой $$AB$$ через $$M$$, а точки касания с параллельными прямыми — через $$E$$ и $$F$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$EAMO$$. У него углы при точках $$E$$ и $$M$$ прямые, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому

$$\angle E+\angle A+\angle M+\angle O=360^\circ,$$

откуда

$$\angle A+\angle O=180^\circ.$$

Так как $$OA=OM$$, треугольник $$AOM$$ равнобедренный, значит

$$\angle AOM=\frac{1}{2}\angle A.$$

Аналогично для четырёхугольника $$OMBF$$ получаем

$$\angle B+\angle O=180^\circ,$$

и в равнобедренном треугольнике $$BOM$$

$$\angle BOM=\frac{1}{2}\angle B.$$

Прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, а $$AB$$ — секущая, поэтому односторонние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle AOB=\angle AOM+\angle MOB=\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$.