Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Высота правильной треугольной пирамиды равна $$20$$, а медиана её основания равна $$6$$. Найдите тангенс угла, который боковое ребро образует с плоскостью основания.

Обозначим через $$H$$ основание высоты пирамиды, то есть $$DH \perp (ABC)$$ и $$DH=20$$.

В правильном треугольнике $$ABC$$ точка $$H$$ — центр основания, поэтому она лежит на медиане $$AE$$ и делит её в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$A$$:

$$AH=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\cdot 6=4.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$. Угол, который боковое ребро $$DA$$ образует с плоскостью основания, равен углу $$DAH$$, поэтому

$$\tg \angle DAH=\frac{DH}{AH}=\frac{20}{4}=5.$$

Ответ: $$5$$.