Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность с центром О касается двух параллельных прямых. Касательная к окружности пересекает эти прямые в точках А и В. Найдите угол АОВ.

Обозначим точки касания окружности с прямой $$AB$$ через $$M$$, а точки пересечения касательной с параллельными прямыми — $$A$$ и $$B$$. Тогда $$OA \perp AM$$ и $$OB \perp BM$$, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Рассмотрим четырёхугольник $$EAMO$$. В нём сумма углов равна $$360^\circ$$, причём $$\angle E = 90^\circ$$ и $$\angle M = 90^\circ$$, значит

$$\angle A + \angle O = 360^\circ — 180^\circ = 180^\circ.$$

Отсюда

$$\angle AOM=\frac{1}{2}\angle A.$$

Аналогично для четырёхугольника $$OMBF$$ получаем

$$\angle B + \angle O = 360^\circ — 180^\circ = 180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle BOM=\frac{1}{2}\angle B.$$

Так как прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, а $$AB$$ — секущая, то односторонние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle AOB=\angle AOM+\angle BOM=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Ответ

$$90^\circ$$