Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота правильной треугольной пирамиды равна 20, а медиана её основания равна 6. Найдите тангенс угла, который боковое ребро образует с плоскостью основания.

Обозначим через $$H$$ основание высоты правильной треугольной пирамиды. Тогда $$DH \perp (ABC)$$, а точка $$H$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$.

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и делится центром тяжести в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому, если $$AE$$ — медиана основания и $$AE=6$$, то

$$AH=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\cdot 6=4.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$. Угол между боковым ребром $$DA$$ и плоскостью основания равен углу $$\angle DAH$$, поэтому

$$\tg \angle DAH=\frac{DH}{AH}=\frac{20}{4}=5.$$

Ответ

$$5$$