Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Рассмотрим две первые прямые. Они пересекаются в точке $$A$$.

Пусть третья прямая пересекает первую в другой точке $$B$$.

Если третья прямая пересекает и вторую прямую, то точка пересечения не может совпадать с $$A$$, так как прямые различны. Значит, она пересекает вторую прямую в некоторой точке $$C$$, причём точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ не лежат на одной прямой.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Следовательно, прямые $$AB$$, $$AC$$ и $$BC$$ лежат в одной плоскости.

Если же третья прямая не пересекает вторую прямую, то она не имеет с ней общей точки. Тогда все три прямые лежат в одной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые $$AB$$ и $$AC$$.

Таким образом, три прямые, попарно пересекающиеся, либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Ответ

Что и требовалось доказать.