Упр.149 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB =AC = 5 см, BC = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на прямую $$BC$$. Тогда $$AM$$ — искомое расстояние от точки $$A$$ до прямой $$BC$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AB=AC$$, то медиана $$AM$$ к основанию $$BC$$ является высотой. Значит, $$M$$ — середина $$BC$$, поэтому

$$BM=MC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AMC$$ по теореме Пифагора получаем:

$$AM=\sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ см}.$$

Теперь найдём расстояние от точки $$D$$ до прямой $$BC$$. Так как $$AD\perp (ABC)$$, то $$AD\perp BC$$. Кроме того, $$AM\perp BC$$. Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна плоскости $$ADM$$, а значит, $$DM$$ — расстояние от точки $$D$$ до прямой $$BC$$.

Найдём $$DM$$. В треугольнике $$DAC$$ угол $$DAC$$ прямой, поэтому

$$DC=\sqrt{DA^2+AC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DMC$$ имеем:

$$DM=\sqrt{DC^2-MC^2}=\sqrt{13^2-3^2}=\sqrt{169-9}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\text{ см}.$$