Упр.148 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$AK$$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $$ABC$$, а точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Докажите, что $$MK \perp BC$$.

Так как $$\triangle ABC$$ — правильный, то он равносторонний. Точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$, значит $$AM$$ — медиана, а в равностороннем треугольнике медиана является и высотой. Следовательно, $$AM \perp BC$$.

По условию $$AK \perp (ABC)$$, значит прямая $$AK$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC$$, в частности $$AK \perp BC$$.

Прямые $$AK$$ и $$AM$$ лежат в плоскости $$AKM$$ и пересекаются. Поскольку $$BC$$ перпендикулярна обеим этим прямым, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$BC \perp (AKM).$$

Тогда $$BC$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $$AKM$$, в частности $$KM$$. Значит,

$$KM \perp BC.$$

Ответ

$$KM \perp BC.$$