Упр.147 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Из точки $$M$$ проведён перпендикуляр $$MB$$ к плоскости прямоугольника $$ABCD$$. Докажите, что треугольники $$AMD$$ и $$MCD$$ прямоугольные.
Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AB \perp AD$$ и $$BC \perp CD$$.
Поскольку $$MB \perp (ABCD)$$, то прямая $$MB$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABCD$$, в частности $$MB \perp AB$$ и $$MB \perp BC$$.
Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$AMD$$, а $$MB \perp AB$$. Кроме того, $$AD \perp AB$$. Значит, прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$MAD$$, откуда $$AD \perp AM$$. Следовательно, $$\angle MAD=90^\circ$$, и треугольник $$AMD$$ прямоугольный.
Аналогично, в треугольнике $$MCD$$ прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$MCD$$, при этом $$MB \perp BC$$ и $$CD \perp BC$$. Значит, $$BC \perp (MCD)$$, откуда $$CD \perp MC$$. Следовательно, $$\angle MCD=90^\circ$$, и треугольник $$MCD$$ прямоугольный.
Ответ: $$\triangle AMD$$ и $$\triangle MCD$$ — прямоугольные.
