Упр.146 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$M$$ и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости $$\alpha$$ через точку $$M$$ проходит прямая, перпендикулярная к прямой $$a$$, и притом только одна.

Рассмотрим прямую $$b$$, являющуюся проекцией прямой $$a$$ на плоскость $$\alpha$$. Так как $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$M$$ и не перпендикулярна ей, то проекция $$b$$ проходит через точку $$M$$ и $$b \ne a$$.

Через точку $$M$$ в плоскости $$\alpha$$ проведём прямую $$c$$, перпендикулярную прямой $$b$$. Такая прямая существует и единственна.

По теореме о трёх перпендикулярах из $$c \perp b$$ следует, что $$c \perp a$$.

Докажем единственность. Пусть в плоскости $$\alpha$$ через точку $$M$$ проходит ещё одна прямая $$d$$, причём $$d \perp a$$. Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, из $$d \perp a$$ и $$d \subset \alpha$$ следует, что $$d \perp \alpha$$, то есть $$a \perp \alpha$$. Это противоречит условию.

Значит, в плоскости $$\alpha$$ через точку $$M$$ проходит ровно одна прямая, перпендикулярная прямой $$a$$.