Упр.145 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину $$A$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ проведена прямая $$AD$$, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник $$CBD$$ прямоугольный; б) найдите $$BD$$, если $$BC=a$$, $$DC=b$$.

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то прямая $$AD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$A.$$

В частности, $$AD \perp AC$$ и $$AD \perp AB.$$ Поскольку в треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, то $$BC \perp AC.$$ Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AC$$ и $$AD,$$ лежащим в плоскости $$ACD.$$ Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$$BC \perp (ACD).$$

Тогда $$BC \perp DC,$$ так как $$DC$$ лежит в плоскости $$ACD.$$ Поэтому

$$\angle DCB=90^\circ,$$

то есть треугольник $$CBD$$ прямоугольный.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCB.$$ По теореме Пифагора

$$BD^2=DC^2+CB^2.$$

Так как $$DC=b,$$ $$CB=a,$$ получаем

$$BD^2=b^2+a^2,$$

откуда

$$BD=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Ответ: $$BD=\sqrt{a^2+b^2}.$$