Упр.143 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние от точки $$M$$ до каждой из вершин правильного треугольника $$ABC$$ равно $$4\text{ см}$$. Найдите расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$ABC$$, если $$AB=6\text{ см}$$.

Пусть $$O$$ — проекция точки $$M$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$MO$$ — искомое расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$ABC$$.

Так как $$MA=MB=MC=4$$, то точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$, то есть $$OA=OB=OC$$. Следовательно, $$O$$ — центр описанной окружности около правильного треугольника $$ABC$$.

Найдём радиус этой окружности:

$$R=\frac{AB}{2\sin \angle ACB} =\frac{6}{2\sin 60^\circ} =\frac{6}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} =2\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MOA$$:

$$MO=\sqrt{MA^2-OA^2} =\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2} =\sqrt{16-12} =2\text{ см}.$$

Ответ: $$2$$ см.