Упр.141 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Один конец данного отрезка лежит в плоскости а, a другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости а.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ — конец отрезка, лежащий в плоскости $$\alpha$$, а $$B$$ — другой конец отрезка. Обозначим через $$H$$ и $$K$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и середины $$O$$ отрезка $$AB$$ на плоскость $$\alpha$$.

Тогда $$AH$$ — расстояние от точки $$A$$ до плоскости $$\alpha$$, значит $$AH \perp \alpha$$ и $$AH=0$$, так как $$A \in \alpha$$. По условию расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$ равно $$6$$ см, следовательно $$BK=6$$ см.

Так как точки $$A$$ и $$B$$ соединены отрезком, а расстояние до плоскости меняется линейно вдоль отрезка, то для середины $$O$$ отрезка $$AB$$ расстояние до плоскости равно среднему арифметическому расстояний концов отрезка до этой плоскости:

$$OK=\frac{AH+BK}{2}=\frac{0+6}{2}=3$$

Следовательно, расстояние от середины данного отрезка до плоскости $$\alpha$$ равно $$3$$ см.