Упр.140 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки \(A\), не принадлежащей плоскости $$\alpha$$, проведены к этой плоскости перпендикуляр $$AO$$ и две равные наклонные $$AB$$ и $$AC$$. Известно, что $$\angle OAB=\angle BAC=60^\circ$$, $$AO=1{,}5\text{ см}$$. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$AO \perp \alpha$$, а точки $$O$$ и $$B$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то $$AO \perp OB$$, значит, $$\triangle AOB$$ прямоугольный.

По условию $$\angle OAB=60^\circ$$. Тогда

$$\angle OBA=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы, поэтому

$$AO=\frac12 AB,$$

откуда

$$AB=2AO=2\cdot1{,}5=3\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию $$AB=AC$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный. Кроме того, $$\angle BAC=60^\circ$$, поэтому

$$\angle ABC=\angle BCA=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ равносторонний, и потому

$$BC=AB=3\text{ см}.$$

Ответ: $$3\text{ см}$$.