Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.14 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Четырёхугольник ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Найдите AC, если AB = 27, CD = 28, BC = 5 и $$\cos \angle BCD = -\frac{2}{7}$$.

Пусть из точек $$B$$ и $$C$$ опущены перпендикуляры на основание $$AD$$: $$BF \perp AD$$, $$CE \perp AD$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то внутренние односторонние углы при секущей $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle ADC=180^\circ-\angle BCD,$$

следовательно,

$$\cos \angle ADC=-\cos \angle BCD=\frac{2}{7}.$$

Тогда

$$\sin \angle ADC=\sqrt{1-\cos^2 \angle ADC}=\sqrt{1-\frac{4}{49}}=\sqrt{\frac{45}{49}}=\frac{3\sqrt5}{7}.$$

В прямоугольном треугольнике $$CED$$:

$$CE=CD\cdot \sin \angle ADC=28\cdot \frac{3\sqrt5}{7}=12\sqrt5.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABF$$:

$$BF=\sqrt{AB^2-AF^2}.$$

По рисунку и данным задачи получаем $$AF=3$$, значит

$$BF=\sqrt{27^2-3^2}=\sqrt{720}=12\sqrt5.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACE$$:

$$AE=AF+FE=AF+BC=3+5=8,$$

и

$$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{8^2+(12\sqrt5)^2}=\sqrt{64+720}=\sqrt{784}=28.$$

Если взять другую возможную конфигурацию на рисунке, то

$$AE=FE-AF=BC-AF=5-3=2,$$

и тогда

$$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{2^2+(12\sqrt5)^2}=\sqrt{724}.$$

Ответ: $$28$$ или $$\sqrt{724}$$.