Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.14 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильном тетраэдре $$ABCD$$ точка $$E$$ — середина ребра $$BD$$. Найдите синус угла между прямой $$AE$$ и плоскостью $$ABC$$.

Обозначим через $$F$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$E$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$EF$$ — расстояние от точки $$E$$ до плоскости $$ABC$$, а угол между прямой $$AE$$ и плоскостью $$ABC$$ равен $$\angle AEF$$.

В правильном тетраэдре $$ABCD$$ все ребра равны, а высота тетраэдра равна

$$h=AB\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Так как точка $$E$$ — середина ребра $$BD$$, то в равностороннем треугольнике $$ABD$$ отрезок $$AE$$ является медианой и высотой, значит

$$AE=\frac{AB\sqrt{3}}{2}.$$

Кроме того, точка $$F$$ — середина высоты тетраэдра, поэтому

$$EF=\frac{h}{2}=\frac{AB}{\sqrt{6}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AEF$$

$$\sin \angle AEF=\frac{EF}{AE}=\frac{AB/\sqrt{6}}{AB\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{3}$$