Упр.139 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Подробный ответ

Пусть из точки $$N$$ к плоскости $$\alpha$$ проведены наклонные $$NB$$ и $$NC$$, а $$NA \perp \alpha$$. Тогда точки $$A, B, C$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, и треугольники $$NAB$$ и $$NAC$$ — прямоугольные.

а) Если $$NB = NC$$, то в прямоугольных треугольниках $$NAB$$ и $$NAC$$ гипотенузы равны, а катет $$NA$$ — общий. Следовательно, $$\triangle NAB \cong \triangle NAC$$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Значит, равны и соответствующие проекции:

$$AB = AC.$$

б) Если $$AB = AC$$, то в прямоугольных треугольниках $$NAB$$ и $$NAC$$ равны катет $$NA$$ и катет $$AB = AC$$. Следовательно, $$\triangle NAB \cong \triangle NAC$$ по двум катетам. Отсюда

$$NB = NC.$$

в) Пусть $$NB > NC$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$NAB$$ и $$NAC$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2 = NB^2 — NA^2,$$

$$AC^2 = NC^2 — NA^2.$$

Так как $$NB > NC$$, то $$NB^2 > NC^2$$, значит

$$NB^2 — NA^2 > NC^2 — NA^2,$$

то есть

$$AB^2 > AC^2.$$

Следовательно, $$AB > AC$$. Значит, большей наклонной соответствует большая проекция.