Упр.139 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Обозначим основание перпендикуляра из точки $$N$$ на плоскость $$\alpha$$ через $$A$$. Тогда $$NA \perp \alpha$$, а наклонные $$NB$$ и $$NC$$ имеют проекции $$AB$$ и $$AC$$ соответственно.

а)

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle NAB$$ и $$\triangle NAC$$: у них общий катет $$NA$$, а гипотенузы равны, так как $$NB=NC$$.

Следовательно, $$\triangle NAB \cong \triangle NAC$$ по гипотенузе и катету. Тогда соответствующие катеты равны:

$$AB=AC.$$

б)

Рассмотрим те же прямоугольные треугольники $$\triangle NAB$$ и $$\triangle NAC$$. Теперь равны их катеты $$AB=AC$$, а катет $$NA$$ у них общий.

Значит, $$\triangle NAB \cong \triangle NAC$$ по двум катетам, откуда

$$NB=NC.$$

в)

Пусть $$NB>NC$$. Для прямоугольных треугольников $$\triangle NAB$$ и $$\triangle NAC$$ имеем:

$$NB^2=NA^2+AB^2,\qquad NC^2=NA^2+AC^2.$$

Так как $$NB>NC$$, то $$NB^2>NC^2$$. Тогда

$$NA^2+AB^2>NA^2+AC^2,$$

откуда

$$AB^2>AC^2,$$

а значит, $$AB>AC$$.

Следовательно, большей наклонной соответствует большая проекция.

Ответ: а) $$AB=AC$$; б) $$NB=NC$$; в) если $$NB>NC$$, то $$AB>AC$$.