Упр.138 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен $$\varphi$$. а) Найдите наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен $$d$$. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна $$m$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$AC \perp \alpha$$, $$AB$$ — наклонная, а $$BC$$ — её проекция на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$\angle BAC=\varphi$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем:

$$\cos\varphi=\frac{AC}{AB}, \qquad \sin\varphi=\frac{BC}{AB}, \qquad \tg\varphi=\frac{BC}{AC}.$$

а)

Если $$AC=d$$, то

$$AB=\frac{AC}{\cos\varphi}=\frac{d}{\cos\varphi},$$
$$BC=AC\cdot\tg\varphi=d\cdot\tg\varphi.$$

б)

Если $$AB=m$$, то

$$AC=AB\cdot\cos\varphi=m\cos\varphi,$$
$$BC=AB\cdot\sin\varphi=m\sin\varphi.$$

Ответ: а) $$AB=\frac{d}{\cos\varphi},\ BC=d\cdot\tg\varphi$$; б) $$AC=m\cos\varphi,\ BC=m\sin\varphi$$.