Упр.138 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен ф. а) Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна т.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$AC \perp \alpha$$, $$AB$$ — проекция наклонной $$BC$$ на плоскость $$\alpha$$, а $$\angle BAC=\varphi$$.

Так как $$AC \perp \alpha$$, то $$AC \perp AB$$, следовательно, $$\triangle ABC$$ прямоугольный, и для него можно использовать тригонометрические соотношения.

а) Пусть $$AC=d$$. Тогда

$$\cos\varphi=\frac{AC}{BC}$$
$$BC=\frac{AC}{\cos\varphi}=\frac{d}{\cos\varphi}$$

Кроме того,

$$\tg\varphi=\frac{BC}{AB}$$
$$AB=\frac{BC}{\tg\varphi}=\frac{d}{\cos\varphi}\cdot\frac{1}{\tg\varphi}=d\cdot\tg\varphi$$

б) Пусть $$AB=m$$. Тогда

$$\cos\varphi=\frac{AB}{AC}$$
$$AC=\frac{AB}{\cos\varphi}=m\cos\varphi$$

А также

$$\sin\varphi=\frac{BC}{AC}$$
$$BC=AC\sin\varphi=m\sin\varphi$$