Упр.137 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

Подробный ответ

Пусть $$a \perp b$$ и прямые $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся.

Возьмём на прямой $$a$$ точку $$A$$ и проведём через неё прямую $$c$$, перпендикулярную прямой $$b$$. Тогда $$c \perp b$$.

Через точку $$B=c\cap b$$ проведём прямую $$a_1 \parallel a$$. Так как $$a \perp b$$, то по свойству параллельных прямых получаем $$a_1 \perp b$$.

Рассмотрим плоскость $$\alpha$$, проходящую через прямые $$a_1$$ и $$c$$. Эти прямые пересекаются в точке $$B$$, значит, такая плоскость существует и единственна.

Докажем, что $$b \perp \alpha$$. В плоскости $$\alpha$$ лежат пересекающиеся прямые $$a_1$$ и $$c$$, причём

$$a_1 \perp b,\qquad c \perp b.$$

Следовательно, прямая $$b$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $$\alpha$$, значит,

$$b \perp \alpha.$$

Осталось показать, что $$a \subset \alpha$$. Прямая $$a$$ проходит через точку $$A$$ и параллельна прямой $$a_1$$, лежащей в плоскости $$\alpha$$. Кроме того, точка $$A$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$, так как $$A \in c \subset \alpha$$. Значит, прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.

Итак, через прямую $$a$$ проходит плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная прямой $$b$$.

Аналогично, меняя роли прямых $$a$$ и $$b$$, получаем, что через прямую $$b$$ проходит плоскость, перпендикулярная прямой $$a$$.