Упр.137 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.
Пусть $$a$$ и $$b$$ — взаимно перпендикулярные скрещивающиеся прямые, то есть $$a \perp b$$.
Возьмём на прямой $$a$$ точку $$A$$ и проведём через неё прямую $$c$$, перпендикулярную прямой $$b$$. Тогда $$c \perp b$$.
Через точку $$B=c\cap b$$ проведём прямую $$a_1$$, параллельную прямой $$a$$. Так как $$a \perp b$$ и $$a_1 \parallel a$$, то $$a_1 \perp b$$.
Рассмотрим плоскость $$\beta$$, проходящую через прямые $$a_1$$ и $$c$$. Докажем, что $$\beta \perp b$$ и что $$a \subset \beta$$.
Так как $$a_1 \subset \beta$$, $$c \subset \beta$$ и $$a_1 \cap c = B$$, а также $$a_1 \perp b$$ и $$c \perp b$$, то прямая $$b$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$a_1$$ и $$c$$, лежащим в плоскости $$\beta$$. Следовательно, $$b \perp \beta$$.
Кроме того, прямая $$a$$ проходит через точку $$A$$ и параллельна прямой $$a_1$$, лежащей в плоскости $$\beta$$. Поскольку $$a$$ и $$a_1$$ имеют общую точку $$A$$, они не могут быть параллельными различными прямыми, значит, $$a \subset \beta$$.
Итак, через прямую $$a$$ проходит плоскость $$\beta$$, перпендикулярная прямой $$b$$.
Аналогично, через прямую $$b$$ проходит плоскость, перпендикулярная прямой $$a$$.
