Упр.136 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка AB, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной к прямой AB.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Рассмотрим треугольник $$XAB$$. По условию $$AX=BX$$, значит, $$\triangle XAB$$ равнобедренный.

Проведём в этом треугольнике медиану $$XO$$ к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому

$$XO \perp AB.$$

Следовательно, прямая $$XO$$ лежит в плоскости, проходящей через точку $$O$$ и перпендикулярной прямой $$AB$$. Так как точка $$X$$ принадлежит прямой $$XO$$, то она лежит в этой плоскости.

Итак, точка $$X$$ лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярной прямой $$AB$$.