Упр.136 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если точка $$X$$ равноудалена от концов данного отрезка $$AB$$, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярной к прямой $$AB$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$XAB$$. Так как $$AX=BX$$, то он равнобедренный. Пусть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике медиана $$XO$$, проведённая к основанию $$AB$$, является одновременно высотой, значит

$$XO \perp AB.$$

Плоскость, проходящая через точку $$O$$ и перпендикулярная прямой $$AB$$, содержит все прямые, проходящие через $$O$$ и перпендикулярные $$AB$$. Следовательно, прямая $$XO$$ лежит в этой плоскости.

Так как точка $$X$$ принадлежит прямой $$XO$$, то $$X$$ тоже лежит в этой плоскости. Значит, если точка $$X$$ равноудалена от концов отрезка $$AB$$, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярной к прямой $$AB$$.