Упр.135 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$a$$ перпендикулярна к плоскости $$\alpha$$ и перпендикулярна к прямой $$b$$, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что $$b \parallel \alpha$$.

Обозначим точку пересечения прямой $$a$$ с плоскостью $$\alpha$$ буквой $$A$$. Через точку $$A$$ проведём прямую $$b’$$, параллельную прямой $$b$$.

Так как $$a \perp \alpha$$ и $$b’ \parallel b$$, а по условию $$a \perp b$$, то $$a \perp b’$$.

Прямые $$b$$ и $$b’$$ лежат в одной плоскости, проходящей через прямую $$b$$ и точку $$A$$. Поскольку $$b’ \parallel b$$, эта плоскость пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой, проходящей через точку $$A$$. Но прямая $$a$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$, значит, она перпендикулярна любой прямой этой плоскости, проходящей через точку $$A$$. Следовательно, $$a \perp b’$$.

Через точку $$A$$ в плоскости $$\alpha$$ проведена прямая $$b’$$, параллельная $$b$$. Тогда прямая $$b’$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а значит, и прямая $$b$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Поэтому $$b \parallel \alpha$$.

Итак, $$b \parallel \alpha$$, что и требовалось доказать.