Упр.135 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая а перпендикулярна к плоскости а и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b || а.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения прямой $$a$$ с плоскостью $$\alpha$$ через $$A$$. Через точку $$A$$ проведём прямую $$b’$$, параллельную прямой $$b$$.

Так как $$a \perp b$$ и $$b’ \parallel b$$, то $$a \perp b’$$.

Прямая $$b’$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Следовательно, прямая $$a$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$b$$ и $$b’$$, лежащим в плоскости $$\alpha$$. Значит, $$a \perp \alpha$$.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $$a$$ и прямую $$b’$$. Поскольку $$b’ \parallel b$$, а $$b \not\subset \alpha$$, то прямая $$b’$$ не может лежать в плоскости $$\alpha$$ вместе с $$a$$. Поэтому прямая $$b$$ параллельна плоскости $$\alpha$$.

Итак, $$b \parallel \alpha$$.