Упр.134 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку $$M$$ прямой $$a$$ и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку $$M$$ и перпендикулярной к прямой $$a$$.

Подробный ответ

Проведём через точку $$M$$ две различные прямые $$b_1$$ и $$b_2$$, перпендикулярные прямой $$a$$. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что плоскость, проходящая через прямые $$b_1$$ и $$b_2$$, перпендикулярна прямой $$a$$.

Обозначим эту плоскость через $$\beta$$. Тогда $$M \in \beta$$ и $$a \perp \beta$$.

Пусть теперь $$b_3$$ — любая прямая, проходящая через точку $$M$$ и перпендикулярная прямой $$a$$. Предположим, что $$b_3 \not\subset \beta$$. Тогда через прямые $$a$$ и $$b_3$$ можно провести плоскость $$\gamma$$. Так как $$a \perp \beta$$ и $$a \subset \gamma$$, то линия пересечения плоскостей $$\gamma$$ и $$\beta$$, проходящая через точку $$M$$, перпендикулярна прямой $$a$$.

Но в плоскости $$\beta$$ через точку $$M$$ уже проходят две различные прямые $$b_1$$ и $$b_2$$, перпендикулярные $$a$$. Это невозможно, так как через одну точку плоскости можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Противоречие.

Следовательно, $$b_3 \subset \beta$$. Значит, все прямые, проходящие через точку $$M$$ и перпендикулярные прямой $$a$$, лежат в плоскости $$\beta$$, проходящей через $$M$$ и перпендикулярной прямой $$a$$.