Упр.134 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку M прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной к прямой а.

Пусть через точку $$M$$ прямой $$a$$ проведены прямые $$b_1,\; b_2,\; b_3$$, причём $$b_1 \perp a,\; b_2 \perp a,\; b_3 \perp a$$.

Проведём через пересекающиеся прямые $$b_1$$ и $$b_2$$ плоскость $$\beta$$. Тогда $$M \in \beta$$. Так как $$a \perp b_1$$ и $$a \perp b_2$$, а прямые $$b_1$$ и $$b_2$$ лежат в плоскости $$\beta$$ и пересекаются в точке $$M$$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем

$$a \perp \beta.$$

Теперь рассмотрим прямую $$b_3$$. Предположим, что $$b_3 \notin \beta$$. Проведём через прямую $$a$$ и точку $$M$$ плоскость $$\gamma$$, содержащую прямую $$b_3$$. Тогда плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекаются по некоторой прямой $$l$$, проходящей через точку $$M$$.

Так как $$a \perp \beta$$, то $$a \perp l$$, поскольку $$l \subset \beta$$ и проходит через точку $$M$$. С другой стороны, $$b_3 \subset \gamma$$ и $$b_3 \perp a$$. Значит, в плоскости $$\gamma$$ через точку $$M$$ проходят две различные прямые $$l$$ и $$b_3$$, обе перпендикулярные прямой $$a$$.

Но через данную точку пространства можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой в заданной плоскости, поэтому получаем противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и

$$b_3 \in \beta.$$

Аналогично доказывается, что любая прямая, проходящая через точку $$M$$ и перпендикулярная прямой $$a$$, лежит в плоскости $$\beta$$.

Ответ: все прямые, проходящие через точку $$M$$ и перпендикулярные прямой $$a$$, лежат в плоскости $$\beta$$, проходящей через $$M$$ и перпендикулярной $$a$$.