Упр.132 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Пусть прямая $$a$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно, причём $$a \perp \alpha$$. Докажем, что $$a \perp \beta$$.

В плоскости $$\alpha$$ проведём через точку $$A$$ две пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$. Так как $$a \perp \alpha$$, то

$$a \perp b,\qquad a \perp c.$$

Через точку $$B$$ в плоскости $$\beta$$ проведём прямые $$b_1 \parallel b$$ и $$c_1 \parallel c$$.

Поскольку $$b \parallel b_1$$ и $$a \perp b$$, то $$a \perp b_1$$. Аналогично, из $$c \parallel c_1$$ и $$a \perp c$$ получаем $$a \perp c_1$$.

Прямые $$b_1$$ и $$c_1$$ пересекаются и лежат в плоскости $$\beta$$. Следовательно, прямая $$a$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $$\beta$$, значит,

$$a \perp \beta.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$a \perp \beta$$.