Упр.131 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$ABCD$$ точка $$M$$ — середина ребра $$BC$$, $$AB=AC$$, $$DB=DC$$. Докажите, что плоскость треугольника $$ADM$$ перпендикулярна к прямой $$BC$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB=AC$$, а $$M$$ — середина ребра $$BC$$, то $$BM=MC$$. Следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный, а отрезок $$AM$$, проведённый к основанию $$BC$$, является и медианой, и высотой. Значит,

$$AM\perp BC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DBC$$. Так как $$DB=DC$$ и $$BM=MC$$, то $$\triangle DBC$$ равнобедренный, а $$DM$$ — его медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, значит,

$$DM\perp BC.$$

Прямые $$AM$$ и $$DM$$ лежат в плоскости $$ADM$$ и пересекаются в точке $$M$$. Поскольку обе они перпендикулярны прямой $$BC$$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$BC\perp (ADM).$$

Что и требовалось доказать.