Упр.130 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BM. Известно, что ZMBA = ZMBC = 90°; MB = m, AB = п. Найдите расстояния от точки M до: а) вершин квадрата; б) прямых AC и BD.

Подробный ответ

Так как $$\angle MBA=90^\circ$$ и $$\angle MBC=90^\circ$$, то $$BM\perp AB$$ и $$BM\perp BC$$. Прямые $$AB$$ и $$BC$$ лежат в плоскости квадрата $$ABCD$$ и пересекаются, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$$BM\perp (ABCD).$$

Следовательно, треугольники $$MAB$$ и $$MBC$$ прямоугольные, поэтому

$$MA=\sqrt{MB^2+AB^2}=\sqrt{m^2+n^2},$$

$$MC=\sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+n^2}.$$

Диагональ квадрата

$$BD=n\sqrt{2}.$$

Так как $$BM\perp (ABCD)$$, то $$BM\perp BD$$. Значит, треугольник $$MBD$$ прямоугольный, и

$$MD=\sqrt{MB^2+BD^2}=\sqrt{m^2+2n^2}.$$

Теперь найдём расстояния от точки $$M$$ до прямых.

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Поскольку $$BM\perp BD$$, то

$$p(M,BD)=MB=m.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда $$BO\subset BD$$ и $$BO=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{n\sqrt{2}}{2}=\dfrac{n}{\sqrt{2}}.$$

Диагонали квадрата перпендикулярны, значит $$AC\perp BO$$. Кроме того, $$BM\perp (ABCD)$$, следовательно, $$BM\perp AC$$. Прямая $$AC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$BM$$ и $$BO$$ плоскости $$BMO$$, значит

$$AC\perp (BMO).$$

Тогда перпендикуляр из точки $$M$$ к прямой $$AC$$ проходит через точку $$O$$, то есть

$$p(M,AC)=MO.$$

В прямоугольном треугольнике $$MBO$$

$$MO=\sqrt{MB^2+BO^2}=\sqrt{m^2+\frac{n^2}{2}}.$$