Упр.130 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $BM$. Известно, что $\angle MBA=\angle MBC=90^\circ$; $MB=m$, $AB=n$. Найдите расстояния от точки $M$ до:

а) вершин квадрата;

б) прямых $AC$ и $BD$.

Подробный ответ

Так как $$BM \perp AB$$ и $$BM \perp BC,$$ то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем $$BM \perp (ABCD).$$

а) Тогда треугольники $$MAB$$ и $$MBC$$ прямоугольные, поэтому

$$MA=\sqrt{MB^2+AB^2}=\sqrt{m^2+n^2},$$

$$MC=\sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+n^2}.$$

Диагональ квадрата

$$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{n^2+n^2}=n\sqrt2.$$

Треугольник $$MBD$$ прямоугольный, значит

$$MD=\sqrt{MB^2+BD^2}=\sqrt{m^2+2n^2}.$$

б) Расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BD$$ равно перпендикуляру из $$M$$ к этой прямой. Так как $$BM \perp (ABCD),$$ а прямая $$BD$$ лежит в плоскости квадрата и проходит через точку $$B,$$ то $$BM \perp BD.$$ Следовательно,

$$p(M,BD)=MB=m.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда $$BO \perp AC,$$ а также $$BM \perp (ABCD),$$ значит $$BM \perp BO.$$ Следовательно, треугольник $$MBO$$ прямоугольный, и

$$MO=\sqrt{MB^2+BO^2}.$$

Так как $$BO=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{n\sqrt2}{2}=\dfrac{n}{\sqrt2},$$ то

$$MO=\sqrt{m^2+\frac{n^2}{2}}.$$

Поскольку $$AC \perp BO$$ и $$AC \perp BM,$$ то $$AC \perp (BMO),$$ значит $$MO \perp AC.$$ Поэтому

$$p(M,AC)=MO=\sqrt{m^2+\frac{n^2}{2}}.$$

Ответ: $$MA=MC=\sqrt{m^2+n^2},\quad MD=\sqrt{m^2+2n^2};\quad p(M,BD)=m,\quad p(M,AC)=\sqrt{m^2+\frac{n^2}{2}}.$$