Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.13 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом $$60^\circ$$, а их длины относятся как $$1:3$$. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника $$ABCD$$, если большая равна $$\sqrt{39}$$?
Обозначим середины сторон так, как на рисунке: $$M$$ — середина $$AB$$, $$E$$ — середина $$BC$$, $$N$$ — середина $$CD$$, $$F$$ — середина $$AD$$. Тогда отрезки $$MN$$ и $$EF$$ — средние линии треугольников $$ABC$$ и $$ACD$$, поэтому
$$MN \parallel AC,\qquad EF \parallel AC.$$
Следовательно, угол между прямыми $$MN$$ и $$EF$$ равен углу между диагоналями, то есть
$$\angle EON=60^\circ,$$
где $$O$$ — точка их пересечения.
По условию $$EF:MN=1:3$$, значит
$$OF=\frac{1}{3}ON.$$
Так как $$EF$$ и $$MN$$ — средние линии, то
$$EF=\frac{AC}{2},\qquad MN=\frac{BD}{2}.$$
Пусть большая диагональ равна $$AC=\sqrt{39}$$. Тогда
$$FN=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{39}}{2}.$$
В треугольнике $$OFN$$ угол $$\angle FON$$ смежный с углом $$\angle EON$$, поэтому
$$\angle FON=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
По теореме косинусов:
$$FN^2=OF^2+ON^2-2\cdot OF\cdot ON\cdot \cos 120^\circ.$$
Подставим $$OF=\frac{ON}{3}$$ и $$\cos 120^\circ=-\frac12$$:
$$\frac{39}{4}=\frac{ON^2}{9}+ON^2-2\cdot \frac{ON}{3}\cdot ON\cdot \left(-\frac12\right) =\frac{ON^2}{9}+ON^2+\frac{ON^2}{3}.$$
Тогда
$$\frac{39}{4}=\frac{13}{9}ON^2,\qquad ON^2=\frac{27}{4},\qquad ON=\frac{3\sqrt3}{2}.$$
Следовательно,
$$OF=\frac{ON}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$EON$$. По теореме косинусов:
$$EN^2=OE^2+ON^2-2\cdot OE\cdot ON\cdot \cos 60^\circ.$$
Так как $$OE=OF=\frac{\sqrt3}{2}$$, получаем
$$EN^2=\frac{3}{4}+\frac{27}{4}-2\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{3\sqrt3}{2}\cdot \frac12 =\frac{21}{4}.$$
Значит,
$$EN=\frac{\sqrt{21}}{2}.$$
Но $$EN$$ — половина диагонали $$BD$$, поэтому
$$BD=2EN=\sqrt{21}.$$
Ответ: $$\sqrt{21}$$.
