Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.13 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до плоскости $$DEA_1$$.

Рассмотрим правильную шестиугольную призму. Все её рёбра равны $$1$$, значит $$AA_1=1$$ и сторона основания тоже равна $$1$$.

Найдём сначала диагональ основания $$AE$$. В правильном шестиугольнике $$\angle AFE=120^\circ$$, а $$AF=FE=1$$, поэтому по теореме косинусов:

$$AE^2=AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cos 120^\circ$$

$$AE^2=1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot\left(-\frac12\right)=3, \qquad AE=\sqrt3.$$

Рассмотрим треугольник $$AEA_1$$. Так как призма прямая, то $$AA_1\perp$ плоскости основания, следовательно$$AA_1\perp AE$$. Значит, треугольник$$AEA_1$$прямоугольный, и

$$
A_1E=\sqrt{AA_1^2+AE^2}=\sqrt{1+3}=2.
$$

Площадь треугольника$$AEA_1$$можно выразить двумя способами:

$$
S_{AEA_1}=\frac12\cdot AE\cdot AA_1=\frac12\cdot A_1E\cdot AH,
$$

где$$AH$$— расстояние от точки$$A$$до плоскости$$DEA_1$$.

Подставим найденные значения:

$$
\frac12\cdot \sqrt3\cdot 1=\frac12\cdot 2\cdot AH,
$$

откуда

$$
AH=\frac{\sqrt3}{2}.
$$

Ответ:$$\frac{\sqrt3}{2}$$.