Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.13 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°, а их длины относятся как 1:3. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника ABCD, если большая равна v39?

Обозначим через $$O$$ точку пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. Тогда в четырёхугольнике эти отрезки делятся точкой пересечения пополам, а значит

$$OF=\frac{ON}{3},$$

так как по условию $$EF:MN=1:3$$.

Рассмотрим треугольник $$OFN$$. Угол между отрезками равен $$60^\circ$$, поэтому

$$\angle FON=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Кроме того, отрезок $$FN$$ соединяет середины сторон треугольника, значит

$$FN=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{39}}{2}.$$

По теореме косинусов в треугольнике $$OFN$$:

$$ FN^2=OF^2+ON^2-2\cdot OF\cdot ON\cdot \cos 120^\circ $$

$$ \frac{39}{4}=\left(\frac{ON}{3}\right)^2+ON^2-2\cdot \frac{ON}{3}\cdot ON\cdot \left(-\frac12\right) $$

$$ \frac{39}{4}=\frac{ON^2}{9}+ON^2+\frac{ON^2}{3} =\frac{13}{9}ON^2 $$

$$ ON^2=\frac{27}{4}, \qquad ON=\frac{3\sqrt3}{2}, \qquad OF=\frac{\sqrt3}{2}. $$

Теперь рассмотрим треугольник $$EON$$. По теореме косинусов:

$$ EN^2=OE^2+ON^2-2\cdot OE\cdot ON\cdot \cos 60^\circ $$

$$ EN^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2-2\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{3\sqrt3}{2}\cdot \frac12 $$

$$ EN^2=\frac34+\frac{27}{4}-\frac{9}{4}=\frac{21}{4}. $$

Следовательно,

$$ EN=\frac{\sqrt{21}}{2}. $$

Так как $$EN$$ — половина меньшей диагонали, то

$$ BD=2EN=\sqrt{21}. $$

Ответ

$$\sqrt{21}$$