Упр.129 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямаяВПперпендикулярнакплоскостиАМО; б) MOlBD.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагонали перпендикулярны:

$$AC \perp BD.$$

Точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей, значит $$O \in AC$$, поэтому

$$AO \subset AC \Rightarrow AO \perp BD.$$

Кроме того, $$AM \perp (ABCD)$$, а прямая $$BD$$ лежит в плоскости $$ABCD$$. Следовательно,

$$AM \perp BD.$$

Прямые $$AM$$ и $$AO$$ пересекаются и лежат в плоскости $$AMO$$. Так как $$BD$$ перпендикулярна обеим этим прямым, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$BD \perp (AMO).$$

а) Из $$BD \perp (AMO)$$ следует, что $$BD$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $$AO \subset (AMO)$$, значит

$$BD \perp AO.$$

б) Так как $$MO \subset (AMO)$$, то из $$BD \perp (AMO)$$ получаем

$$BD \perp MO.$$

Что и требовалось доказать.