Упр.128 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через точку $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая $$OM$$ так, что $$MA = MC$$, $$MB = MD$$. Докажите, что прямая $$OM$$ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, его диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. По условию $$MA=MC$$, а точка $$O$$ — середина отрезка $$AC$$. Следовательно, $$MO$$ — медиана в равнобедренном треугольнике $$AMC$$, а значит, она является и высотой:

$$MO\perp AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$BMD$$ имеем $$MB=MD$$ и $$BO=OD$$, поэтому $$MO$$ — медиана равнобедренного треугольника $$BMD$$, значит

$$MO\perp BD.$$

Прямые $$AC$$ и $$BD$$ лежат в плоскости параллелограмма и пересекаются в точке $$O$$. Поскольку $$MO$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то

$$MO\perp (ABCD).$$