Упр.128 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая OM так, что MA = MC, MB = MD. Докажите, что прямая OM перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит,

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. По условию $$MA=MC$$, а точка $$O$$ — середина отрезка $$AC$$. Следовательно, в равнобедренном треугольнике $$AMC$$ медиана $$MO$$ является высотой, то есть

$$MO\perp AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$BMD$$ имеем $$MB=MD$$ и $$BO=OD$$, значит $$MO$$ — медиана в равнобедренном треугольнике $$BMD$$. Тогда

$$MO\perp BD.$$

Прямые $$AC$$ и $$BD$$ лежат в плоскости параллелограмма $$ABCD$$ и пересекаются в точке $$O$$. Поскольку прямая $$MO$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$$MO\perp (ABCD).$$