Упр.127 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ сумма углов $$A$$ и $$B$$ равна $$90^\circ$$. Прямая $$BD$$ перпендикулярна к плоскости $$ABC$$. Докажите, что $$CD \perp AC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию

$$\angle A+\angle B=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-90^\circ=90^\circ,$$

значит, $$AC\perp BC.$$

Так как $$BD\perp (ABC),$$ то прямая $$BD$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $$ABC$$. В частности, $$BD\perp AC.$$

Прямые $$BC$$ и $$BD$$ пересекаются и лежат в плоскости $$BCD$$. Поскольку $$AC$$ перпендикулярна обеим этим прямым, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$$AC\perp (BCD).$$

Так как $$CD$$ лежит в плоскости $$BCD,$$ то из $$AC\perp (BCD)$$ следует, что

$$CD\perp AC.$$

Что и требовалось доказать.