Упр.125 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точки $$P$$ и $$Q$$ прямой $$PQ$$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $$\alpha$$ и пересекающие её соответственно в точках $$P_1$$ и $$Q_1$$. Найдите $$P_1Q_1$$, если $$PQ=15\text{ см}$$, $$PP_1=21{,}5\text{ см}$$, $$QQ_1=33{,}5\text{ см}$$.

Так как $$PP_1 \perp \alpha$$ и $$QQ_1 \perp \alpha,$$ то $$PP_1 \parallel QQ_1.$$ Следовательно, точки $$P, Q, P_1, Q_1$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$PP_1Q_1Q$$ — трапеция.

Проведём через прямую $$PP_1$$ и прямую $$QQ_1$$ плоскость $$\beta$$. В этой плоскости отрезок $$P_1Q_1$$ лежит в основании трапеции, а отрезок $$PQ$$ — её боковая сторона.

Опустим из точки $$P$$ перпендикуляр на прямую $$QQ_1$$ и обозначим основание этого перпендикуляра через $$T$$. Тогда $$PT \perp QQ_1$$, а так как $$PP_1 \parallel QQ_1,$$ то $$PT \perp PP_1.$$ Значит, четырёхугольник $$PTQ_1P_1$$ — прямоугольник, откуда

$$PT=P_1Q_1,$$

а также $$TQ_1=PP_1=21{,}5$$ см.

Теперь найдём $$QT$$:

$$QT=QQ_1-TQ_1=33{,}5-21{,}5=12$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$PTQ$$ гипотенуза $$PQ=15$$ см, поэтому

$$PT=\sqrt{PQ^2-QT^2} =\sqrt{15^2-12^2} =\sqrt{225-144} =\sqrt{81}=9.$$

Так как $$PT=P_1Q_1,$$ получаем

$$P_1Q_1=9$$ см.