Упр.125 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 см, PP1 = 21,5 см, QQ1 = 33,5 см.

Подробный ответ

Так как $$PP_1 \perp \alpha$$ и $$QQ_1 \perp \alpha$$, то прямые $$PP_1$$ и $$QQ_1$$ параллельны.

Проведём через них плоскость $$\beta$$. Тогда точки $$P, Q, P_1, Q_1$$ лежат в одной плоскости, а отрезок $$P_1Q_1$$ является проекцией отрезка $$PQ$$ на плоскость $$\beta$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $$PQ$$. Разность высот точек $$P$$ и $$Q$$ над плоскостью $$\alpha$$ равна

$$QQ_1-PP_1=33{,}5-21{,}5=12\text{ см}.$$

Значит, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$PQ$$ один катет равен $$12$$ см, а другой — искомому расстоянию $$P_1Q_1$$. По теореме Пифагора:

$$ P_1Q_1^2=PQ^2-(QQ_1-PP_1)^2 $$

$$ P_1Q_1^2=15^2-12^2=225-144=81 $$

$$ P_1Q_1=\sqrt{81}=9\text{ см}. $$