Упр.124 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$PQ$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Через точки $$P$$ и $$Q$$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $$\alpha$$, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках $$P_1$$ и $$Q_1$$. Докажите, что $$PQ=P_1Q_1$$.

Так как $$PP_1 \perp \alpha$$ и $$QQ_1 \perp \alpha,$$ то прямые $$PP_1$$ и $$QQ_1$$ параллельны.

Проведём плоскость через прямые $$PP_1$$ и $$QQ_1.$$ Тогда в этой плоскости лежат и прямые $$PQ$$ и $$P_1Q_1.$$

Поскольку $$PQ \parallel \alpha,$$ то прямая $$PQ$$ не пересекает плоскость $$\alpha.$$ Значит, она не пересекает и прямую $$P_1Q_1,$$ лежащую в плоскости $$\alpha.$$ Следовательно, $$PQ \parallel P_1Q_1.$$

Итак, в четырёхугольнике $$PP_1Q_1Q$$ противоположные стороны попарно параллельны: $$PP_1 \parallel QQ_1$$ и $$PQ \parallel P_1Q_1.$$ Значит, $$PP_1Q_1Q$$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$PQ=P_1Q_1.$$

Ответ

$$PQ=P_1Q_1.$$