Упр.124 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая PQ параллельна плоскости а. Через точки P и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках P1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

Так как $$PP_1 \perp \alpha$$ и $$QQ_1 \perp \alpha,$$ то прямые $$PP_1$$ и $$QQ_1$$ параллельны как перпендикулярные одной и той же плоскости.

Проведём плоскость через прямые $$PP_1$$ и $$QQ_1.$$ Тогда прямые $$PQ$$ и $$P_1Q_1$$ лежат в этой плоскости.

Поскольку $$PQ \parallel \alpha,$$ а точки $$P_1$$ и $$Q_1$$ принадлежат плоскости $$\alpha,$$ то прямая $$PQ$$ не пересекает плоскость $$\alpha,$$ а значит, не пересекает и прямую $$P_1Q_1$$ в проведённой плоскости. Следовательно, $$PQ \parallel P_1Q_1.$$

Итак, в четырёхугольнике $$PP_1Q_1Q$$ противоположные стороны попарно параллельны: $$PP_1 \parallel QQ_1$$ и $$PQ \parallel P_1Q_1.$$ Значит, $$PP_1Q_1Q$$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$PQ = P_1Q_1.$$

Ответ

$$PQ = P_1Q_1.$$