Упр.123 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если две плоскости $$а$$ и $$P$$ перпендикулярны к прямой $$а$$, то они параллельны.

Проведём прямую $$AB \parallel a$$ так, чтобы точки $$A$$ и $$B$$ лежали в плоскостях $$\alpha$$ и $$\beta$$ соответственно. Тогда по первой теореме п. 16 плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ перпендикулярны к прямой $$AB$$.

Предположим, что плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не параллельны. Тогда они имеют общую точку $$M$$. В этом случае точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат в одной плоскости, и получаем треугольник $$ABM$$.

Но в треугольнике $$ABM$$ углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ прямые, так как $$AB \perp \alpha$$ и $$AB \perp \beta$$. Это невозможно, поскольку у треугольника не может быть двух прямых углов.

Следовательно, предположение неверно, и плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны.

Ответ: $$\alpha \parallel \beta$$.