Упр.120 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку $$O$$ пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна $$a$$, проведена прямая $$OK$$, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки $$K$$ до вершин квадрата, если $$OK=b$$.

Так как $$OK \perp (ABCD),$$ то $$OK \perp OA,\; OK \perp OB,\; OK \perp OC,\; OK \perp OD.$$

В квадрате диагонали равны и пересекаются в середине, значит

$$OA=OB=OC=OD.$$

Найдём $$OA$$. Диагональ квадрата со стороной $$a$$ равна

$$AC=a\sqrt{2},$$

поэтому

$$OA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$. По теореме Пифагора:

$$AK^2=AO^2+OK^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+b^2=\frac{a^2}{2}+b^2.$$

Следовательно,

$$AK=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.$$

Так как точки $$A,B,C,D$$ равноудалены от центра квадрата $$O$$, то аналогично получаем

$$KB=KC=KD=KA.$$

Ответ: $$KB=KA=KC=KD=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.$$