Упр.120 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая OK, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если OK = b.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагонали равны и пересекаются в точке $$O$$, причём $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Поэтому

$$AO=\frac{AC}{2}.$$

Найдём диагональ квадрата:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Тогда

$$AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Поскольку $$OK \perp (ABCD)$$, то $$OK \perp OA$$, $$OK \perp OB$$, $$OK \perp OC$$ и $$OK \perp OD$$. Значит, треугольники $$AOK$$, $$BOK$$, $$COK$$ и $$DOK$$ прямоугольные, а их гипотенузы равны:

$$KA^2=OK^2+OA^2,$$

$$KB^2=OK^2+OB^2,$$

$$KC^2=OK^2+OC^2,$$

$$KD^2=OK^2+OD^2.$$

Так как $$OA=OB=OC=OD$$, то

$$KA=KB=KC=KD.$$

Теперь найдём расстояние от точки $$K$$ до любой вершины квадрата:

$$KB^2=b^2+\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=b^2+\frac{a^2}{2}.$$

Следовательно,

$$KB=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.$$

Аналогично

$$KA=KD=KC=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.$$