Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.12 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагональ равнобедренной трапеции равна $$10$$ и образует угол в $$60^\circ$$ с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $$AC=10$$ — диагональ равнобедренной трапеции $$ABCD$$. Тогда в равнобедренной трапеции диагонали равны, значит $$BD=AC=10$$.

Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как $$\angle CAD=60^\circ$$ и трапеция равнобедренная, то диагональ $$AC$$ образует с основанием такой же угол и в симметричном треугольнике, поэтому удобно найти проекцию диагонали на основание.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN=\frac{AD+BC}{2}.$$

В равнобедренной трапеции диагональ делит её на два равных по площади треугольника, а её проекция на основание равна средней линии. Поэтому

$$MN=\frac{1}{2}\,AC.$$

Тогда

$$MN=\frac{1}{2}\cdot 10=5.$$

Ответ: $$5$$.