Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.12 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите тангенс угла между плоскостями $$ABC$$ и $$DB_1F_1$$.

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через точки $$D,E,D_1$$. Угол между плоскостями $$ABC$$ и $$DB_1F_1$$ равен двугранному углу при ребре $$DE$$, а его линейный угол — это угол $$\angle D_1ED$$.

Найдём стороны треугольника $$EDD_1$$.

В правильной шестиугольной призме все рёбра равны $$1$$, значит высота призмы тоже равна $$1$$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, поэтому

$$A_1D_1=2R=2.$$

Точка $$E$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$ в равнобедренном треугольнике $$A_1F_1B_1$$, поэтому

$$D_1E=2-\frac12=\frac32.$$

В прямоугольном треугольнике $$EDD_1$$ имеем $$DD_1=1$$, следовательно

$$\tan \angle D_1ED=\frac{DD_1}{D_1E}=\frac{1}{\frac32}=\frac23.$$

Ответ: $$\frac23$$.