Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.12 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 и образует угол в 60° с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$ через $$O$$. Так как трапеция равнобедренная, то она симметрична относительно перпендикуляра к основаниям, поэтому диагонали равны и образуют равные углы с основаниями.

Рассмотрим треугольник $$AOD$$. По условию $$\angle CAD=60^\circ$$, значит диагональ $$AC$$ образует с основанием $$AD$$ угол $$60^\circ$$. Тогда в треугольнике $$AOD$$ угол при вершине $$A$$ равен $$60^\circ$$, а стороны $$AO$$ и $$OD$$ равны как соответствующие части равных диагоналей равнобедренной трапеции. Следовательно, треугольник $$AOD$$ равносторонний, и потому

$$AO=OD=AD.$$

Аналогично в треугольнике $$BOC$$ получаем

$$BO=OC=BC.$$

Тогда средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN=\frac{AD+BC}{2}.$$

Но из равенств выше следует, что

$$AD=AO,\qquad BC=OC,$$

а значит

$$MN=\frac{AO+OC}{2}=\frac{AC}{2}.$$

Так как $$AC=10$$, то

$$MN=\frac{10}{2}=5.$$

Ответ

$$5$$